微分（３）微分係数 - 大川研究室Blog

前回書いたように、曲線における各時点の瞬間的時速(ｘが1単位増加した時のyの変化分)は接線の傾きによって表されます。

この接線の傾きは次のように導出されます。

上図のy=f(x)のグラフについてx=10における点Aにおける接線の傾きを考えます。
まず、点Aと点Cを結ぶ直線の傾きを考えます。点Aから点Cに変化すると、xの値は(30-10=)20単位増加するのに対し、yの値は(300-100=)200単位増加するため、x１単位の増加につきｙは(yの変化)200/(xの変化)20=10単位増加することより、点Aと点Cを結ぶ直線の傾きは10となります。
同様に、点Aから点Bに変化すると、xの値は(30-20=)10単位増加するのに対し、yの値は(140-100=)40単位増加するため、x１単位の増加につきｙは(yの変化)40/(xの変化)10=4単位増加することより、点Aと点Cを結ぶ直線の傾きは4となります。

このように、直線の傾きを測るためには、２つの点におけるyの変化とxの変化を求めてx１単位の変化におけるｙの変化分を求めます。(直線の傾き)＝(ｙの変化分)/(ｘの変化分)となります。

この直線の傾きを測るための２点を限りなく点Aに近づけるとき、それが接線の傾きをなります。

数学的に説明すると次のようになります。

上図のy=f(x)のx＝x0における点A(x0,f(x0))からxがΔx単位増加した時の点D(x0+Δx,f(x0+Δx))の二つの点の直線の傾きを測ると(ｙの変化)f(x0+Δx)-f(x0)/(xの変化)Δxとなります。このΔｘの大きさをゼロに近づけるほど点Dは点Aに近づくことになります。そして極限まで点Dが点Aに近づくとき、その直線の傾きは点Aにおける接線の傾きとなるのです。

これを数式的に書くと次のようになります。