全微分
偏導関数は、ある特定の変数以外の変数を一定にしたときに、特定の変数が変化したときの変化分を表すものです。これに対して、すべての変数の変化を対象としたものを全微分といいます。
2変数関数y=f(x,z)に関して考えていきます。xに関する偏微分はzを一定にしてxのみが変化したときのyの変化分を、yに関する偏微分はyを一定にしてxのみが変化したときのyの変化分を示しています。
これに対し、xとzがともに変化したときにyがどのように変化するのかを示したものを全微分といいます。
全微分は(yの変化分)は(xの変化に伴うyの変化)と(zの変化に伴うyの変化)の合計であるということを示したもので、次のような式で示されます。
ｄｙ，ｄｘ，ｄｚはそれぞれｙとｘとｚの変化分を示しています。
つまり、全微分の式は次のように解釈されます。
(ｄｙ：ｙの変化分)＝(∂ｙ/∂ｘ：ｘ1単位当たりのｙの変化分)×(ｄｘ：ｘの変化分)＋(∂ｙ/∂ｚ：ｚ1単位当たりのｙの変化分)×(ｄｚ：ｚの変化分)
(∂ｙ/∂ｘ：ｘ1単位当たりのｙの変化分)×(ｄｘ：ｘの変化分)はｘの変化に伴うｙの変化を、(∂ｙ/∂ｚ：ｚ1単位当たりのｙの変化分)×(ｄｚ：ｚの変化分)はｚの変化に伴うｚの変化を示しています。
このように、全微分とはｘとｚの変化に伴ってｙがどのように変化するのかを示すものなのです。
今日はこの辺で。
