家計の行動：所得・価格の変化と消費(６)支出最小化問題

前回、価格の変化に伴う家計の消費需要の変化を示す価格効果は、代替効果と所得効果に分解されると書きました。

まずは代替効果についてから説明したいところですが、その前に支出最小化問題について書いていきたいと思います。

これまで書いてきたことは、限られた予算の中で効用を最大化する消費の組み合わせを考える効用最大化問題でした。

これに対して、支出最小化問題とはある一定の効用水準を得るための支払金額を最小にする消費の組み合わせを考える問題です。

例えば、下図の無差別曲線はＵ１という効用水準を消費者に与えるＸ財とＹ財の消費の組み合わせを示しています。支出最小化問題とはこのＵ１の効用を得るために、どのような消費の組み合わせを家計は選択するのかということを考えることです。

支出を最小にする消費を考えるために使うのが等支出線です。等支出線とは、下図のようにある一定の支出金額を与えるＸ財とＹ財の組み合わせを示しています。

上図を見ると等支出線とは予算制約線と同じであることがわかる。予算制約線は、予算が決まっている中で引かれる線だが、等支出線とは各支出金額に合わせた予算制約線となります。

無差別曲線と等支出線とを重ねることによって、一定の効用水準を得るための支出を最小にする消費の組み合わせが導出されます。

上図は、効用水準Ｕ1を得るために支出を最小にする消費の組み合わせを導出したものです。点Ｂや点Ｃで表される消費の組み合わせは消費者にＵ１の水準の効用を与えますが、そのために必要な支出金額はＥ3となります。しかし、点Ｂや点Ｃから消費の組み合わせを変えることによって支出を減らすことができるのです。例えば、点ＢからならＸ財の消費を減らす代わりにＹ財の消費を増やすことによって効用水準を減らすことなく支出額を減らすことができるし、点ＣからならＹ財の消費を減らしＸ財の消費を増やすことによって効用水準を減らすことなく支出額を減らすことができるわけです。

このようにすると、Ｕ１の効用水準を得るために最も支出を最小にする消費の組み合わせは、点Ａのように無差別曲線と等支出線が接する点で導出されることがわかります。このときの支出額はＥ2となります。

このため、支出最小化問題の解は無差別曲線と等支出線が接する、すなわち限界代替率と相対価格(px/py)が等しくなるところで決まることがわかります。

これは、効用最大化の条件と一致することがわかります。すなわち、効用最大化問題と支出最小化問題は本質的には同じものとなるのです。

上図において、予算がＭのもとでの効用を最大にする消費の組み合わせは点Ａによって示されます。そのときに、消費者が得る効用水準はＵ１となります。一方、効用水準Ｕ１を得るための支出を最小にする消費の組み合わせも点Ａによって示され、そのときの消費者の支出額はＭとなるのです。

今日はこの辺で