極大・極小化問題(３)数値例

昨日書いたように、関数の極大・極小値を求める１階条件と２階条件は次のようになります。

１階条件　y=f(x)の極値(極大・極小値)を与えるx*はf'(x*)=0を満たす。

２階条件　１階条件を満たすx*がf''(x*)<0を満たす時、x*は極大値を与え、f''(x*)>0を満たす時、x*は極小値を与える。

例えば、y＝f(x)＝(x^3)/3‐x^2‐3x＋1　（ただし、x^3はxの３乗)の極大もしくは極小値を与えるｘの値を１階条件と２階条件により導出しましょう。

y=f(x)の１階微分f'(x)=x^2-2x-3となります。f'(x)=0を満たすｘの値は、f'(x)=(x-3)(x+1)となることから、-1と3となることがわかります。
１階条件より、x=-1,3のとき、y=f(x)は極値をとることがわかります。

その極値が極大値か極小値かを調べるために２階条件を用います。

y=f(x)の２階微分f''(x)=2x-2となります。f''(-1)=-4<0となることから、x=-1のときの極値は極大値ということがわかります。

一方、f''(3)=4>0となることから、x=3のときの極値は極小値になることがわかります。

まとめると、y=f(x)はx=-1のときに極大値を、x=3のときに極小値をとることになります。グラフにすると下図のようになります。